学习笔记：傅里叶变换

技术理论的学习，那是有趣共枯燥一色，晕菜与理解齐飞。最近久好电子的一个技术学习小组就深有体会。然而一点一滴的、不断的学习中，每个人都是收获满满。我们一起来看看某学霸这一周的读书笔记。

【第三章 傅里叶变换    作者：李晓强】

首先从内容的衔接上来总结本章内容----只要满足狄利赫里条件的周期信号，都可以用傅里叶级数来表示；傅里叶级数可以用三角波形式给出；如果利用欧拉方程替换三角波，又可以用指数形式表示；如果将级数中的每一个信号的频率提取出来，将相应频率的幅值表示到平面坐标中，这个离散的频率-幅值坐标面我们称之为幅度谱；将三角波每个频率成份的相位表示到平面坐标中，这个离散的频率-相位坐标平面称之为相位谱。

不得不感叹，这种周期信号的表示方法完美到令人窒息，用傅里叶级数的频谱方式表示任意周期信号，可以包含此信号的所有信息，而这就是频域。

周期信号（加条件）用傅里叶级数可以完美的表达，那么非周期信号怎么办？事实上，如果一个周期信号当它的周期趋向于无穷大，那么这个信号我们认为它非周期，所以只要对周期信号进行傅里叶级数展开，同时对其周期求极限，那这个“周期无群大”的信号也能展开成一个傅里叶级数。反过来说，非周期信号也可能存在傅里叶级数，这种周期无群大信号的傅里叶级数展开称之为傅里叶变换。

仍然用频谱的方式来观察一个周期信号傅里叶级数，会发现当周期信号的周期加大时，其谱线的X 坐标密度增加，如果周期被极限为无穷大，频谱的密度则无限密，变得连续起来。

敲黑板：

此时不能将这种极限状况演化下的结果称为连续频谱，因为对于一个非周期信号而言，其总归是有一定能量，如果直接用连续的频谱，其能量是就是每个频点的相加，这样就会存在一个矛盾，连续的频谱是无限频点，而幅度是一个有限值，这样信号的能量就变为发散值。

如果考虑了傅里叶级数的前提，周期虽然趋向于无群大，频谱依然存在，只是频谱间隔变为无穷小，这样得到的频率-幅度的平面坐标称之为密度谱，其物理含义就是：任意一点的频率值趋向于0（因为频率宽度0），但是一段频率的能量值仍然有效。

 周期信号的傅里叶级数

周期信号的傅里叶级数的展开及其系数的计算，幅度谱和相位谱的计算，如果用欧拉公式将傅里叶级数展开，要理解复频域的概念，其频率会产生负的部分，实际这是用指数表示三角函数过程中数学运算的结果，如果将相位加入，那么π相位为负幅值。

傅里叶级数在工程应用中由于频率无法达到无限值，当频率有限时，其级数就存在一个方均误差。

 傅里叶变换及典型的非周期信号傅里叶变换

将周期信号的周期取极限得到傅里叶变换，反向思维，如果要求一个非周期函数的傅里叶变换，可以先求相似的周期信号的傅里叶级数，然后将周期取极限。门限函数的傅里叶变换是Sa 函数

 冲激函数和阶跃函数的傅氏变换

冲激函数的傅里叶变换是1，也就是说理想的冲激函数包含了任何频率信息，其幅值是1，称之为均匀谱。如果对门限函数的门限宽度取无穷极限，就得到直流信号的傅里叶变换是冲激函数。阶跃信号的傅里叶变换是一个冲激信号和反比例函数的合成，所以我们总是以冲激函数和阶跃函数仿真系统的响应特性，因为其频率成份足够多。

 傅里叶变换的基本性质

对称性、叠加性、奇偶虚实性、尺度变换性、时移特性、频移特性、微积分特性。

 卷积定理

时域卷积定理：时域的卷积就是频域的相乘

频域卷积定理：频域的卷积是时域相乘除以2π

 周期信号的傅里叶变换

傅里叶变换求得信号的连续密度谱，而周期信号的傅里叶变换的谱线离散的，这时候只能用冲激函数的能量无限来抵消频率离散所带来的能量计算问题。进一步，如果求的周期信号的傅里叶变换，将其与冲激函数来求卷积，那么很容易求得周期信号的傅里叶级数系数。

 抽样信号的傅里叶变换和抽样定理

本节属于傅里叶变换的应用范畴，根据前章的铺垫，如果用一个信号fs 采样一个信号fi，实际上就是这个信号fs 对被抽样信号fi 的卷积，那么根据时域卷积定理，可以分别求其傅里叶变换，然后在频域相乘得到频域信号，最后经过傅里叶反变换得到采样信号的时域信号。

抽样定理又称为奈奎斯特采样定理，也就是采样频率fs 至少是被采样信号fi 的2 倍，才有可能无失真的恢复原信号。